数学向量知识点
在日常的学习中,相信大家一定都接触过知识点吧!知识点也可以通俗的理解为重要的内容。你知道哪些知识点是真正对我们有帮助的吗?以下是小编收集整理的数学向量知识点,仅供参考,欢迎大家阅读。
数学向量知识点1【考纲解读】
1.理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.
2.了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
3.理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
【考点预测】
高考对平面向量的考点分为以下两类:
(1)考查平面向量的概念、性质和运算,向量概念所含内容较多,如单位向量、共线向量、方向向量等基本概念和向量的加、减、数乘、数量积等运算,高考中或直接考查或用以解决有关长度,垂直,夹角,判断多边形的形状等,此类题一般以选择题形式出现,难度不大.
(2)考查平面向量的综合应用.平面向量常与平面几何、解析几何、三角等内容交叉渗透,使数学问题的情境新颖别致,自然流畅,此类题一般以解答题形式出现,综合性较强.
【要点梳理】
1.向量的加法与减法:掌握平行四边形法则、三角形法则、多边形法则,加法的运算律;
2.实数与向量的乘积及是一个向量,熟练其含义;
3.两个向量共线的条件:平面向量基本定理、向量共线的坐标表示;
4.两个向量夹角的范围是:[0,π]
5.向量的数量积:熟练定义、性质及运算律,向量的模,两个向量垂直的充要条件.
数学向量知识点21.基本概念:
向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。
2. 加法与减法的代数运算:
(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ).
向量加法与减法的几何表示:平行四边形法则、三角形法则。
向量加法有如下规律: + = + (交换律); +( +c)=( + )+c (结合律);
3.实数与向量的积:实数 与向量 的积是一个向量。
(1)| |=| || |;
(2) 当 a>0时, 与a的方向相同;当a<0时, 与a的方向相反;当 a=0时,a=0.
两个向量共线的充要条件:
(1) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ,使得b= .
(2) 若 =( ),b=( )则 ‖b .
平面向量基本定理:
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 , ,使得 = e1+ e2.
4.P分有向线段 所成的比:
设P1、P2是直线 上两个点,点P是 上不同于P1、P2的任意一点,则存在一个实数 使 = , 叫做点P分有向线段 所成的比。
当点P在线段 上时, >0;当点P在线段 或 的延长线上时, <0;
分点坐标公式:若 = ; 的坐标分别为( ),( ),( );则 ( -1), 中点坐标公式: .
5. 向量的数量积:
(1).向量的夹角:
已知两个非零向量 与b,作 = , =b,则AOB= ( )叫做向量 与b的夹角。
(2).两个向量的数量积:
已知两个非零向量 与b,它们的夹角为 ,则 b=| ||b|cos .
其中|b|cos 称为向量b在 方向上的投影.
(3).向量的数量积的性质:
若 =( ),b=( )则e = e=| |cos (e为单位向量);
b b=0 ( ,b为非零向量);| |= ;
cos = = .
(4) .向量的数量积的运算律:
b=b( )b= ( b)= ( b);( +b)c= c+bc.
6.主要思想与方法:
本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算向量的模、两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点。
数学向量知识点3向量的的数量积
定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作ab。若a、b不共线,则ab=abcos〈a,b〉;若a、b共线,则ab=+-?a??b?。
向量的数量积的坐标表示:ab=xx'+yy'。
向量的数量积的运算律
ab=ba(交换律);
(λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律);
(a+b)c=ac+bc(分配律);
向量的数量积的性质
aa=a的平方。
a⊥b 〈=〉ab=0。
ab≤ab。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即:(ab)c≠a(bc);例如:(ab)^2≠a^2b^2。
2、向量的数量积不满足消去律,即:由 ab=ac (a≠0),推不出 b=c。
3、ab≠ab
4、由 a=b ,推不出 a=b或a=-b。
数学向量知识点41.向量的基本概念
(1)向量
既有大小又有方向的量叫做向量.物理学中又叫做矢量.如力、速度、加速度、位移就是向量.
向量可以用一条有向线段(带有方向的线段)来表示,用有向线段的长度表示向量的大小,用箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用一个小写字母a,b,c表示,或用两个大写字母加表示(其中前面的字母为起点,后面的字母为终点)
(5)平行向量
方向相同或相反的非零向量,叫做平行向量.平行向量也叫做共线向量.
若向量a、b平行,记作a∥b.
规定:0与任一向量平行.
……此处隐藏2731个字……量,记作//.规定: //.8.零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作:.零向量的方向是不确定的,是任意的.由于零向量方向的特殊性,解答问题时,一定要看清题目中是零向量还是非零向量.
9.单位向量:长度等于1的向量叫做单位向量.
10.向量的加法运算:
(1)向量加法的三角形法则
11.向量的减法运算
12、两向量的和差的模与两向量模的和差之间的关系
对于任意两个向量,,都有|||-|||||+||.
13.数乘向量的定义:
实数和向量的乘积是一个向量,这种运算叫做数乘向量,记作.
向量的长度与方向规定为:(1)||=|
(2)当0时,与方向相同;当0时,与方向相反.
(3)当=0时,当=时,=.
14.数乘向量的运算律:(1))= (结合律)
(2)(+) =+(第一分配律)(3)(+)=+.(第二分配律)
15.平行向量基本定理
如果向量,则//的充分必要条件是,存在唯一的实数,使得=.
如果与不共线,若m=n,则m=n=0.
16.非零向量的单位向量:非零向量的单位向量是指与同向的单位向量,通常记作.
=||,即==(,)
17.线段中点的向量表达式
点M是线段AB的中点,O是平面内任意一点,则=(+).
18.平面向量的直角坐标运算:如果=(a1,a2),=(b1,b2),则
+=(a1+b1,a2+b2);-=(a1-b1,a2-b2);=(a1,a2).
19.利用两点表示向量:如果A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).
20.两向量相等和平行的条件:若=(a1,a2),=(b1,b2) ,则
=a1=b1且a2=b2.
//a1b2-a2b1=0.特别地,如果b10,b20,则// =.
21.向量的长度公式:若=(a1,a2),则||=.
22.平面上两点间的距离公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),则||=.
23.中点公式
若点A(x1,y1),点B(x2,y2),点M(x,y)是线段AB的中点,则x=,y= .
24.重心公式
在△ABC中,若A(x1,y1),B(x2,y2),A(x3,y3),,△ABC的重心为G(x,y),则
x=,y=
25.(1)两个向量夹角的取值范围是[0,p],即0,p.
当=0时,与同向;当=p时,与反向
当= 时,与垂直,记作.
(3)向量的内积定义:=||||cos.
其中,||cos叫做向量在向量方向上的正射影的数量.规定=0.
(4)内积的几何意义
与的内积的几何意义是的模与在方向上的正射影的数量,或的模与在 方向上的正射影数量的乘积
当0,90时,0;=90时,
90时,0.
26.向量内积的运算律:
(1)交换率
(2)数乘结合律
(3)分配律
(4)不满足组合律
27.向量内积满足乘法公式
29.向量内积的应用:
平面向量
戴氏航天学校老师总结加法与减法的代数运算:
(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ).
向量加法与减法的几何表示:平行四边形法则、三角形法则。
戴氏航天学校老师总结向量加法有如下规律:+= +(交换律); +( +c)=( + )+c (结合律);
两个向量共线的充要条件:
(1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得b= .
(2) 若=(),b=()则‖b .
平面向量基本定理:
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,戴氏航天学校老师提醒有且只 有一对实数,,使得= e1+ e2
高考数学必修四学习方法
养成良好的课前和课后学习习惯:在当前高中数学学习中,培养正确的学习习惯是一项重要的学习技能。虽然有一种刻板印象的猜疑,但在高中数学学习真的是反复尝试和错误的。学生们不得不预习课本。我准备的数学教科书不是简单的阅读,而是一个例子,至少十分钟的思考。在使用前不能通过学习知识解决问题的情况下,可以在教学内容中找到答案,然后在教材中考察问题的解决过程,掌握解决问题的思路。同时,在课堂上安排笔记也是必要的。在高中数学研究中,建议采用两种形式的笔记,一种是课堂速记,另一种是课后笔记。这不仅提高了课堂记忆的吸收能力,而且有助于对笔记内容的查询。
高考数学必修四学习技巧
养成良好的学习数学习惯
多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过程中,要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言,并永久记忆在自己的脑海中。良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。
及时了解、掌握常用的数学思想和方法
中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个:集合与对应思想,分类讨论思想,数形结合思想,运动思想,转化思想,变换思想。
有了数学思想以后,还要掌握具体的方法,比如:换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中,常用的有:观察与实验,联想与类比,比较与分类,分析与综合,归纳与演绎,一般与特殊,有限与无限,抽象与概括等。
数学向量知识点10数乘向量
实数和向量a的乘积是一个向量,记作a,且∣a∣=∣∣∣a∣。
当0时,a与a同方向;
当0时,a与a反方向;
当=0时,a=0,方向任意。
当a=0时,对于任意实数,都有a=0。
注:按定义知,如果a=0,那么=0或a=0。
实数叫做向量a的系数,乘数向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣∣1时,表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上伸长为原来的∣∣倍;
当∣∣1时,表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上缩短为原来的∣∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律:(a)b=(ab)=(ab)。
向量对于数的分配律(第一分配律):(+)a=a+a.
数对于向量的分配律(第二分配律):(a+b)=a+b.
数乘向量的消去律:① 如果实数0且a=b,那么a=b。② 如果a0且a=a,那么=。
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